Infekciya keselligi tarqalıwınıń matematikalıq modeli

Jumısta juqpalı keselliklerdiń jabıq populyaciyada tarqalıwın táriypleytuǵın klassikalıq Kermak-Makkendrik SIR modeli úyrenilgen. Ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması kórinisindegi modeldiń qoyılıwı keltirilgen. Sonday-aq, sistemanıń birinshi integralı kórip shıǵıladı hám infekciyalanǵanlar funkciyasınıń maksimum mánisine erisiw shárti keltirip shıǵarıladı. SIR modeli ápiwayılıǵına qaramastan, epidemiyalıq processtiń tiykarǵı nızamlıqların adekvat sáwlelendiriwi hám matematikalıq epidemiologiyanıń quramalıraq modelleri ushın tiykar bolıwı kórsetilgen.

R E S E A RC H F O C US xalqaro ilmiy jurnali hamkorligida

QR-kod maqolaning DOI sahifasini ochadi SAHIFALAR TIL 994–997 Qoraqalpoq IQTIBOS UCHUN Mustafaeva Raxima, Jumamuratova Shaxsanem. Infekciya keselligi tarqalıwınıń matematikalıq modeli // «O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» mavzusidagi xalqaro ilmiy-amaliy konferensiya materiallari (Nukus, 2026-yil 9–10-oktyabr). – Nukus, 2026. – B. 994–997. – DOI: https://doi.org/10.66073/ReFocus-Conf/0910202

«O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA NUKUS, 9–10-OKT YABR 2026

INFEKCIYA KESELLIGI TARQALIWINIŃ MATEMATIKALIQ MODELI

Mustafaeva Raxima fizika -matematika ilimleriniń kandidatı Ámeliy matematika hám informatika kafedrası docenti Jumamuratova Shaxsanem Ámeliy matematika tálim baǵdarı 2-kurs studenti, Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleketlik universiteti.

Annotaciya: Jumısta juqpalı keselliklerdiń jabıq populyaciyada tarqalıwın táriypleytuǵın klassikalıq Kermak-Makkendrik SIR modeli úyrenilgen. Ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması kórinisindegi modeldiń qoyılıwı keltirilgen. Sonday-aq, sistemanıń birinshi integralı kórip shıǵıladı hám infekciyalanǵanlar funkciyasınıń maksimum mánisine erisiw shárti keltirip shıǵarıladı. SIR modeli ápiwayılıǵına qaramastan, epidemiyalıq processtiń tiykarǵı nızamlıqların adekvat sáwlelendiriwi hám matematikalıq epidemiologiyanıń quramalıraq modelleri ushın tiykar bolıwı kórsetilgen. Tayanısh sózler: SIR modeli, matematikalıq epidemiologiya modeli, differenciallıq teńlemeler, tiykarǵı reproduktiv san, epidemiya shıńı. Házirgi waqıtta epidemiyalıq processlerdi modellestiriwge úlken itibar qaratılmaqta. Ásirese, bul másele COVID-19 koronavirus infekciyasınıń tarqalıwına baylanıslı áhmiyetli bolıp qaldı. Epidemiya tarqalıwınıń klassikalıq hám eń ápiwayı matematikalıq modeli – bul Kermak-Makendriktıń SIR-model bolıp hám bul model boyınsha bir jerde jasawshı barlıq xalıqtı úsh toparǵa bóledi:  S (Susceptible) - bul ele awırmaǵan, biraq viruslanǵan adam menen ushırasqanda keselleniwi múmkin bolǵan adamlar sanı.  I (Infectious) - infekciya juqtırǵan hám kesellikti basqalarǵa tarqatatuǵın juqpalı adamlar sanı.  R (Recovered / Removed) - emlenip, turaqlı immunitetke iye bolg’an hám infekciya juqtırıw processinen táwir bolıp shıǵıp ketken (yaki qaytıs bolg’an) adamlar sanı. Hár bir toparda t -waqıtta baylanıslı adamlar sanınıń ózgeriw processi sızıqlı emes ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması menen táriyplenedi. Xalıqtıń ulıwma sanı turaqlı bolg’an jaǵdayda, toparlardıń sanlı dinamikası ápiwayı differenciallıq ten’lemeler sisteması menen táriyplenedi[1, 2]:

- keselleniwi múmkin bolǵan adamlar sanınıń kemeyiw tezligi;

-infekciya juqtırǵan adamlar sanınıń ózgeriw tezligi;

adamlardıń emlenip, sawalǵanlar toparına ótiw tezligi. X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

Bunda (infekciya juqtırıw koefficienti) - bul bir adamnıń bir birlik waqıt momentindegi ortasha kontaktlar sanın kórsetedi, (táwir bolıw koefficienti) - keselliktiń ortasha waqıtına keri bolǵan shama.

Tiykarǵı infekciyalanǵan adamlardıń kobeyiwıń sanı, bunda qatnası sıpatında esaplanadı. Ol óziniń keselligi dawamında, bir nawqas adam ortasha qansha adamǵa infekciyanı juqtırıwı múmkin ekenligin kórsetedi. Eger bolsa, onda kesellik tarqaladı hám epidemiya baslanadı, al bolsa, epidemiyanıń tarqalıwı toqtaydı[2]. « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

. Demek, turaqlı boladı. Al bul bolsa parametrdi shıǵarıp taslawǵa hám eki teńleme menen islew imkaniyatın beredi.

, bolǵanı sebepli, funkciyası monoton kemeyiwshi hám monoton ósiwshi funkciyalar boladı. Ekinshi teńlemeni birinshi teńlemege bólip, tómendegi qatnasına iye bolamız:

. Bul qatnasın integrallasaq, onda sistemanıń birinshi integralına iye bolamız:

Eger bolsa, onda – bunda virus juqqanlar sanı artıp, epidemiya keselligi tarqalıp baslaydı. Eger bolsa, onda – demek epidemiya keselligi dáslepki kúnnen baslap-aq toqtaydı. Bul Kermak-Makkendriktiń shegara teoreması.

, . Ekinshi tuwındısı tómendegishe boladı: X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

da . Ekinshi tuwındı barlıq waqıtta teris mánisine iye bolǵanlıqtan tabılǵan

noqat qatań maksimum noqatı boladı. Fazalıq traektoriya teńlemesine mánisin aparıp qoyamız hám infekciyalanǵan adamlardıń eń joqarı sanı ushın tómendegi ańlatpasına iye bolamız: « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

. Bunnan áhmiyetli epidemiologiyalıq juwmaq kelip shıǵadı: egerde S-topardaǵı adamlar sanınıń úlesi muǵdarına shekem kemeygen waqıt

momentinde, epidemiya maksimum mánisine erisedi. muǵdar jámáátlik immunitet shegarası dep ataladı. Epidemiya menen awırıp táwir bolǵan hám vakcina alǵan adamlardıń sanı usı úlesine jetkennen keyin, aktiv (awırǵan) nawqaslardıń sanı azaya baslaydı [1,2]. SIR sisteması elementar funkciyalarda sheshimge iye emes, sonıń ushın adımlı Eyler usılınan qollanıladı. Meyli , , kun-1, kun-1, . Keselliktiń ortasha dawamlılıǵı 10 kún. Analitikalıq bahalaw júrgiziwde eń joqarı dárejesi , , emlenip shıqqanlardıń úlesi . Juwmaqlaw. Epidemiya keselliginiń tarqalıwınıń SIR modeli ápiwayı bolıwına qaramastan epidemiyalıq processlerdiń tiykarǵı nızamlıqların durıs kórsetedi hám zamanagóy matematikalıq epidemiologiyanıń fundamenti bolıp esaplanadı.

Paydalanılǵan ádebiyatlar 1. Ризниченко Г.Ю. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии: учеб.пособие.-М. : Изд-во Юрайт, 2019.- 181 с. 2. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии М.-Ижевск, ИКИ, 2003. X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »