Свойства морфизмов между решетками геометрических трипотентов на SFS-пространстве

Mazkur ishda neytral SFS-fazolarning qo‘shma fazolaridagi geometrik tripotentlar panjaralari orasidagi morfizmlar tadqiq etiladi. Qisman tartiblangan to‘plamlar va ortomodulyar panjaralar tushunchalari ko‘rib chiqiladi. Tartib va ortogonallikni saqlaydigan akslantirishlar o‘rganiladi. Bunday akslantirishlar tartib izomorfizmlari va ortoizomorfizmlar bo‘ladigan shartlar aniqlanadi.

R E S E A RC H F O C US xalqaro ilmiy jurnali hamkorligida

QR-kod maqolaning DOI sahifasini ochadi SAHIFALAR TIL 986–989 Rus IQTIBOS UCHUN Gulmira Muratbaeva. Свойства морфизмов между решетками геометрических трипотентов на SFSпространстве // «O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» mavzusidagi xalqaro ilmiy-amaliy konferensiya materiallari (Nukus, 2026-yil 9–10- oktyabr). – Nukus, 2026. – B. 986– 989. – DOI: https://doi.org/10.66073/ ReFocus-Conf/0910200

«O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA NUKUS, 9–10-OKT YABR 2026

СВОЙСТВА МОРФИЗМОВ МЕЖДУ РЕШЕТКАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТРИПОТЕНТОВ НА SFSПРОСТРАНСТВЕ Gulmira Muratbaeva gulmiramuratbaeva8@gmail.com Каракалпакского государственного университета имени Бердаха Аннотация: В данной работе исследуются морфизмы между решётками геометрических трипотентов в сопряжённых пространствах нейтральных SFS-пространств. Рассматриваются понятия частично упорядоченных множеств и ортомодулярных решёток. Изучаются отображения, сохраняющие порядок и ортогональность. Устанавливаются условия, при которых такие отображения являются порядковыми изоморфизмами и ортоизоморфизмами. Ключевые слова: SFS-пространство, геометрический трипотент, решётка, морфизм, ортоизоморфизм, частично упорядоченное множество.

PROPERTIES OF MORPHISMS BETWEEN LATTICES OF GEOMETRIC TRIPOTENTS IN SFS-SPACES Abstract: In this work, morphisms between lattices of geometric tripotents in the dual spaces of neutral SFS-spaces are investigated. The concepts of partially ordered sets and orthomodular lattices are considered. Mappings preserving order and orthogonality are studied. Conditions under which such mappings are order isomorphisms and orthoisomorphisms are established. Keywords: SFS-space, geometric tripotent, lattice, morphism, orthoisomorphism, partially ordered set. В теории гранево симметричных пространств существенную роль играет исследование геометрической структуры единичного шара и его сопряжённого пространства. Особый интерес представляет изучение решётки геометрических трипотентов и отображений между ними (подробно см. [1-6]). Целью данной работы является исследование свойств морфизмов между решётками геометрических трипотентов в нейтральных SFS-пространствах, а также установление условий, при которых такие отображения являются квантовологическими изоморфизмами. Определение 1. Пусть частично упорядоченное множество с наименьшим элементом . Ортогональным отношением, , на называется отношение, удовлетворяющее следующим условиям: является симметричным отношением;

если , тогда для всех . Определение 2. Пусть частично упорядоченное множество с наименьшим элементом и наибольшим элементом . называется частично упорядоченным множеством с ортодополнением, если существует операция на , называемая NUKUS · 2026

ортодополнением, удовлетворяющая следующим условиям для любых :

; X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

и . Мы скажем, что два элемента частично упорядоченного множества являются взаимно ортогональными ( ), если . Частично упорядоченное множество с ортодополнением называется ортомодулярным частично упорядоченным множеством или квантовой логикой, если существует при и выполняется следующее ортомодулярное условие: « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

, при . Ортомодулярная решётка – это ортомодулярное частично упорядоченное множество, являющееся решёткой. Определение 3. Отображение , где и частично упорядоченные множества, называется порядковым морфизмом, если из вытекает для любых . Мы также скажем, что сохраняет порядок в одну сторону; вложением частично упорядоченных множеств, если тогда и только тогда, когда ; порядковым изоморфизмом, если оно является сюръективным порядковым вложением. Определение 4. Пусть и частично упорядоченные множества, снабженные отношением ортогональности. Отображение называется ортоморфизмом, если оно сохраняет ортогональное отношение в одном направлении, т.е. если для всех имеем при ; ортоизоморфизмом, если оно биективно сохраняет ортогональное отношение в обоих направлениях, т.е. если

. Обобщенным ортомодулярным частично упорядоченным множеством (или обобщенной квантовой логикой) является частично упорядоченное множество с наименьшим элементом , такой, что каждый интервал является частично упорядоченным множеством с ортодополнением таким, что выполняются следующие условия: является квантовой логикой для любого ; NUKUS · 2026

если , то для всех Определение 5. Пусть и обобщенные ортомодулярные частично упорядоченные множества и . Тогда называется квантово-логическим морфизмом, если для любых ортогональных имеем: X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

. Если является биекцией, такой, что оба и являются квантовологическими морфизмами, тогда называется квантово-логическим изоморфизмом. Напомним, что -пространстве выполняются равенства и « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

(см. [8, Теорема 1]). Тогда из [2, Лемма 2.4] и [3, Предложение 1.6] вытекает, что для любых имеем , т.е. является геометрическим трипотентом. Эти факты мы будем иметь в виду в дальнейшем. Предложение 6. Пусть – нейтральное -пространство и фиксированные геометрические трипотенты в . Определим отображение в виде , для любого Тогда является квантово-логическим изоморфизмом. Доказательство. Сначала покажем биективность отображения . Сюръективность очевидна. Покажем его инъективность. Пусть и . Поскольку существует биекция (см. [3, Предложение 1.6]), то , следовательно, . Пусть . Тогда возможны следующие два случая. 1-случай. . Тогда

, т.е. , следовательно, , поэтому , т.е. .

2-случай. . Аналогично как и в 1-случае получим Таким образом, если , то , т.е. – инъекция. Теперь докажем, что . Пусть и . Тогда по [2, Лемма 2.5] имеем , следовательно, NUKUS · 2026

. Поскольку , то из [2, Лемма 2.5] вытекает, что , т.е. X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

следовательно, . Тогда из [2, Лемма 2.5] получим, что . Таким образом, , т.е. является ортоизоморфизмом. Теперь покажем, что , когда . Мы наверху показали, что и . Тогда

. « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

Таким образом, выполняются все условия Определения 5, поэтому является квантово-логическим изоморфизмом.