Дифференциальные уравнения в экономических задачах

Ushbu ishda differensial tenglamalarni yechishga keltiriladigan iqtisodiy masalalar keltirilgan. Bu masalalar differensial tenglamalar samarali matematik apparat ekanini, tabiatshunoslikning asosiy vazifalari u orqali amalga oshirilishini ko‘rsatadi. Olingan umumiy va xususiy yechimlarni tahlil qilish ishlab chiqarish samaradorligini oshirish zaxiralarini aniqlash, talab va taklif o‘rtasidagi bog‘liqliklarni belgilash imkonini beradi.

R E S E A RC H F O C US xalqaro ilmiy jurnali hamkorligida

QR-kod maqolaning DOI sahifasini ochadi SAHIFALAR TIL 443–445 Rus

Баймуратова Клара Амангельдиевна. Дифференциальные уравнения в экономических задачах // «O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» mavzusidagi xalqaro ilmiy-amaliy konferensiya materiallari (Nukus, 2026-yil 9–10-oktyabr). – Nukus, 2026. – B. 443–445. – DOI: https://doi.org/10.66073/ReFocus-Conf/0910083

«O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA NUKUS, 9–10-OKT YABR 2026

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Баймуратова Клара Амангельдиевна Ассистент Каракалпакский государственный университет klarabaymuratova1970@gmail.com Аннотация: В данной работе приведены экономические задачи, приводящиеся к решению дифференциальных уравнений. Эти задачи показывают, что дифференциальные уравнения являются действенным математическим аппаратом, через который реализуются основные задачи естествознания. Анализ полученных общих и частных решений позволяет выявить резервы повышения эффективности производства, установить зависимости между спросом и предложением.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, эластичность функций, модель естественного роста, выпуск продукции, цена товара, динамика роста, темп инфляции, интенсивность выпуска. Дифференциальные уравнения содействуют более объективному пониманию того или иного явления, эффективному их использованию и повышают достоверность полученных результатов. Различные вопросы экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержащих в качестве неизвестной некоторую функцию и её производные до определённого порядка n. Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. В экономике часто рассматриваются задачи, решение которых сводится к одному или нескольким уравнениям, содержащим, кроме переменных, искомых функций, ещё и производные этих искомых функций. Рассмотрим экономические задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Задача 1. Обозначим через – величину фондов в натуральном или стоимостном выражении. Фонды – это станки, помещения и т.п. Они изнашиваются, стареют, как обычно говорят, выбывают. Скорость выбытия фондов – это

производная , она выражается через коэффициент выбытия . Например, если за 10 лет фонды полностью обновляются, то коэффициент выбытия равен =1/10. С другой стороны, инвестиции – вложение денег – ведут к увеличению фондов с коэффициентом пропорциональности .[3]

Учитывая все это, получим дифференциальное уравнение вида:

. В экономической теории эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Задача 2. Найти функцию, имеющую постоянную эластичность, равную

По определению эластичность функции равна , тогда по X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

условию задачи получим: дифференциальное уравнение с

разделяющимися переменными: . Интегрирование полученного уравнения позволяет, объединив совокупность элементарных актов процесса, получить зависимость, которой подчиняется данный процесс в целом. Интегрируя обе части полученного равенства, находим: откуда следует, что . Задача 3. Построить модель естественного роста (рост при постоянном « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

темпе). Решение: обозначим – интенсивность выхода продукции некоторого предприятия (отрасли). Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасыщенности потребителя, т.е. что весь выпущенный товар будет продан, а также то, что объем продаж не является столь высоким, чтобы существенно повлиять на цену товара , которую будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска , необходимо, чтобы чистые инвестиции (т.е. разность между общим объёмом инвестиций и амортизированными затратами) были больше нуля. В случае общие инвестиции только лишь покрывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остаётся неизменным. Случай приводит к уменьшению основных фондов и, как следствие, к уменьшению уровня выпуска продукции. Таким образом, скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от . Пусть эта зависимость выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации [4] , где – норма акселерации. Пусть – норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода , которая тратится на чистые инвестиции, тогда . Обозначая , окончательно получим дифференциальное уравнение:

Интегрируя данное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, найдём общее его решение: При начальном условии , найдем частное решение . Это решение называется уравнением естественного роста. Оно

описывает динамику роста цен при постоянном темпе инфляции. С примерами других задач подобного же вида можно ознакомиться в книгах: Я. Б. Зельдович. «Высшая математика для начинающих», в статьях Н.И.Лобановой. «Обучение решению прикладных задач посредством дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования». X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

Из рассмотренных примеров видна специфика решения дифференциальных уравнений. Их решением является бесконечное множество функций, из которых заданием начальных условий получаются решения. Также в рассмотренных задачах можно сделать вывод, что дифференциальные уравнения широко применяются для решения экономических задач. Анализ полученных общих и частных решений позволяет выявить резервы повышения эффективности производства, установить зависимости между спросом и предложением. Таким образом, решение экономических задач с помощью дифференциальных уравнений в системе образования способствует не только « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

освоению важнейших элементов, составляющих этот метод, но и углублению и упрочению знаний обучающихся, что приводит к действительно неформальным, осмысленным, глубоким и прочным знаниям.