Yuqumli kasalliklar rivojlanish dinamikasini matematik modellashtirish

Maqolada yuqumli kasalliklarning populyatsiyada tarqalish dinamikasini ifodalovchi bo‘linmali (kompartmentli) SEIR modeli tahlil qilingan. Modelning oddiy differensial tenglamalar tizimi shaklidagi bayoni, bazaviy reproduktiv son R0 ning chegaraviy ahamiyati, kasallik bo‘lmagan muvozanatning turg‘unligi va epidemiyaning yakuniy hajmini aniqlovchi tenglama keltirilgan. Aholi soni 100 000 bo‘lgan shartli populyatsiya uchun sonli tajriba o‘tkazilib, R0 qiymati 1,4 dan 4,9 gacha ortganda epidemiya cho‘qqisi 247-kundan 51-kunga siljishi, yakuniy kasallanish ulushi esa 51,1% dan 99,2% gacha o‘sishi aniqlandi. R0 = 3,5 holatida aholining 75 foizi dastlabki immunitetga ega bo‘lganda epidemiya yuz bermasligi ko‘rsatildi.

R E S E A RC H F O C US xalqaro ilmiy jurnali hamkorligida

QR-kod maqolaning DOI sahifasini ochadi SAHIFALAR TIL 430–433 O‘zbek

Barliqbaeva Gulayim Baxadir qizi. Yuqumli kasalliklar rivojlanish dinamikasini matematik modellashtirish // «O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» mavzusidagi xalqaro ilmiy-amaliy konferensiya materiallari (Nukus, 2026-yil 9–10- oktyabr). – Nukus, 2026. – B. 430– 433. – DOI: https://doi.org/10.66073/ ReFocus-Conf/0910080

«O‘zbekiston olima ayollarining mamlakat taraqqiyotiga qo‘shayotgan hissasi» XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA NUKUS, 9–10-OKT YABR 2026

YUQUMLI KASALLIKLAR RIVOJLANISH DINAMIKASINI MATEMATIK MODELLASHTIRISH

Barliqbaeva Gulayim Baxadir qizi Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti, Tabiiy va aniq fanlar kafedrasi e-mail: gulibakhadirovna0509@gmail.com Annotatsiya: Maqolada yuqumli kasalliklarning populyatsiyada tarqalish dinamikasini ifodalovchi bo‘linmali (kompartmentli) SEIR modeli tahlil qilingan. Modelning oddiy differensial tenglamalar tizimi shaklidagi bayoni, bazaviy reproduktiv son R0 ning chegaraviy ahamiyati, kasallik bo‘lmagan muvozanatning turg‘unligi va epidemiyaning yakuniy hajmini aniqlovchi tenglama keltirilgan. Aholi soni 100 000 bo‘lgan shartli populyatsiya uchun sonli tajriba o‘tkazilib, R0 qiymati 1,4 dan 4,9 gacha

ortganda epidemiya cho‘qqisi 247-kundan 51-kunga siljishi, yakuniy kasallanish ulushi esa 51,1% dan 99,2% gacha o‘sishi aniqlandi. R0 = 3,5 holatida aholining 75 foizi dastlabki immunitetga ega bo‘lganda epidemiya yuz bermasligi ko‘rsatildi. Kalit so‘zlar: matematik modellashtirish, yuqumli kasalliklar, SEIR modeli, bazaviy reproduktiv son, kollektiv immunitet, oddiy differensial tenglamalar, epidemiya cho‘qqisi. Kirish Yuqumli kasalliklar bugungi kunda ham aholi salomatligiga va iqtisodiyotga jiddiy ta’sir ko‘rsatuvchi global xavflardan biri bo‘lib qolmoqda. COVID-19 pandemiyasi epidemiyaning kelgusi borishini oldindan baholash, karantin va emlash kabi choralarning samarasini miqdoriy taqqoslash zarurligini yaqqol ko‘rsatdi. Bunday masalalarni hal etishda matematik modellashtirish asosiy vositalardan biri hisoblanadi, chunki real populyatsiyada tajriba o‘tkazish axloqiy va amaliy jihatdan mumkin emas. Epidemiyalarni matematik usullar bilan o‘rganish tarixi XVIII asrga borib taqaladi: D. Bernulli chechakka qarshi inokulyatsiyaning umr davomiyligiga ta’sirini miqdoriy baholagan. Zamonaviy nazariyaning poydevori esa Kermak va Makkendrik tomonidan 1927-yilda yaratilgan bo‘linmali model bilan qo‘yildi [1]. Unda populyatsiya kasallikka moyil, kasallangan va tuzalgan guruhlarga ajratilib, guruhlar orasidagi o‘tishlar differensial tenglamalar bilan ifodalanadi. Keyinchalik Anderson va Mey [2] hamda Xetkot [3] modelni yashirin davr, demografik jarayonlar va emlashni hisobga oladigan ko‘rinishlarga kengaytirdi. Bazaviy reproduktiv son R0 nazariyaning markaziy tushunchasi hisoblanadi. Uni keyingi avlod matritsasi orqali hisoblash usuli Dikmann va hammualliflar [4] hamda van den

Drishe va Votmaf [5] ishlarida asoslab berilgan. Epidemik modellarning amaliy qo‘llanilishi Kiling va Rohani [6], shuningdek Brauer va Kastilo-Chaves [7] monografiyalarida keng yoritilgan. Shunga qaramay, modelning har bir parametri natijaga qanday ta’sir qilishini sonli tajriba orqali ko‘rsatish o‘quv va amaliy maqsadlarda dolzarbligicha qolmoqda. Tadqiqotning maqsadi — SEIR modeli asosida yuqumli kasallik dinamikasining asosiy ko‘rsatkichlari (epidemiya cho‘qqisi, yakuniy hajm, emlash chegarasi) R0 ga qanday bog‘liqligini nazariy va sonli usullar bilan aniqlashdan NUKUS · 2026

iborat. Tadqiqot ob’ekti sifatida yopiq, bir jinsli aralashadigan populyatsiya olindi. U to‘rt guruhga bo‘lindi: S(t) — kasallikka moyil, E(t) — yashirin davrdagi, I(t) — yuqtiruvchi va R(t) — tuzalgan yoki immunitetga ega shaxslar. Umumiy son N = S + E + I + R o‘zgarmas deb faraz qilinadi (tug‘ilish va o‘lim hisobga olinmaydi). X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

Ommaviy ta’sir qonuniga ko‘ra model quyidagi tenglamalar tizimi bilan ifodalanadi [8]: dS/dt = −βSI/N (1) dE/dt = βSI/N − σE (2) dI/dt = σE − γI (3) dR/dt = γI (4) bu yerda β — yuqtirish tezligi koeffitsiyenti, 1/σ — o‘rtacha yashirin davr, 1/γ — o‘rtacha yuqtiruvchanlik davri. Boshlang‘ich shartlar: S(0) = N − I(0), E(0) = R(0) = 0. SIR modeli (1)–(4) tizimdan E guruhini chiqarib tashlash bilan hosil bo‘ladi. Nazariy tahlilda tizim kasallik bo‘lmagan muvozanat nuqtasi (S = N, E = I = 0) « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

atrofida chiziqlantirildi. Yuqtiruvchi guruhlar (E, I) uchun keyingi avlod matritsasi usuli [5] bo‘yicha bazaviy reproduktiv son quyidagicha aniqlanadi: R0 = β/γ (5) −1 Bu yerda FV matritsaning spektral radiusi β/γ ga teng: u bitta yuqtiruvchi shaxs butunlay moyil populyatsiyada o‘z kasallik davrida o‘rtacha nechta yangi shaxsni yuqtirishini bildiradi. Yashirin davr 1/σ bu qiymatga ta’sir qilmaydi. Sonli tajribada tizim Dormand–Prins (4(5)-tartibli Runge–Kutta) usuli bilan, nisbiy xatolik 10−10 aniqligida yechildi. Parametrlar: N = 100 000, 1/σ = 5 kun, 1/γ = 7 kun, I(0) = 10. Yuqtirish koeffitsiyenti β ning 0,2; 0,3; 0,5 va 0,7 kun−1 qiymatlarida R0 mos ravishda 1,4; 2,1; 3,5 va 4,9 ga teng bo‘ladi. Emlash ta’siri boshlang‘ich immun ulush p ni 0; 0,3; 0,5 va 0,75 deb olish orqali baholandi. Hisob-kitoblar Python (SciPy) muhitida bajarildi. Chiziqlantirilgan tizim R0 < 1 bo‘lganda kasallik bo‘lmagan muvozanat lokal asimptotik turg‘un, R0 > 1 bo‘lganda esa noturg‘un ekanini ko‘rsatadi [5]. Demak, R0 = 1 epidemiya paydo bo‘lishining chegaraviy qiymatidir. Agar populyatsiyaning p ulushi dastlab immunitetga ega bo‘lsa, samarali reproduktiv son R0(1 − p) ga teng bo‘ladi va epidemiyaning oldini olish sharti quyidagi ko‘rinishni oladi: pc = 1 − 1/R0 (6) R0 = 3,5 uchun pc ≈ 0,714. Epidemiya tugagach kasallanganlar ulushi z ni topish uchun (1)–(4) tizimda S ning R bo‘yicha hosilasi S(0) ≈ N, R(0) = 0 da integrallanadi va z = 1 − exp(−R0z) (7) transsendent tenglamasi hosil bo‘ladi; u noldan farqli ildizga faqat R0 > 1 bo‘lganda ega. Oddiy SIR modelida cho‘qqi vaqtidagi kasallanganlar ulushi esa [3] Imax/N = 1 − (1 + ln R0)/R0 (8)

formulasi bilan beriladi. Sonli tajriba natijalari 1-jadvalda va 1-rasmda keltirilgan. (7) tenglama ildizlari bilan taqqoslash hisob to‘g‘riligini tasdiqladi: masalan, R0 = 1,4 da (7) dan z ≈ 0,5110, sonli yechimdan 0,5112 olindi. Epidemiyaning boshlang‘ich bosqichida (S ≈ N) chiziqlantirilgan (2)–(3) tizim eksponensial o‘sishni beradi: I(t) ∝ ert. O‘sish tezligi r xarakteristik tenglama (r NUKUS · 2026

+ σ)(r + γ) = σγR0 ning musbat ildizi sifatida topiladi: r = [−(σ + γ) + √((σ − γ)2 + 4σγR0)]/2 (9) Ikki barobar ortish vaqti Td = ln 2/r bo‘lib, R0 = 1,4; 2,1; 3,5 va 4,9 uchun mos ravishda 22,7; 9,2; 4,7 va 3,4 kunga teng. Demak, R0 ortishi bilan aralashuv choralariga ajratilgan vaqt keskin qisqaradi. X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

1-jadval. R0 ning epidemiya ko‘rsatkichlariga ta’siri (SEIR, N = 100 000) β, kun−1 R0 Cho‘qqi kuni Cho‘qqidagi I, kishi Imax/N, % Yakuniy z 0,2 1,4 247 2 646 2,65 0,511 0,3 2,1 120 9 851 9,85 0,822 0,5 3,5 68 20 177 20,18 0,966 0,7 4,9 51 26 183 26,18 0,992 Jadvaldan ko‘rinadiki, R0 ning 1,4 dan 4,9 gacha ortishi epidemiya cho‘qqisini 247-kundan 51-kunga yaqinlashtiradi, cho‘qqidagi kasallar sonini esa qariyb 10 baravar oshiradi (2 646 dan 26 183 gacha). Shuningdek, SIR modelida R0 = 3,5 da (8) « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

bo‘yicha Imax/N ≈ 35,6% bo‘lsa, SEIR modelida bu ko‘rsatkich 20,2% ni tashkil etadi: yashirin davr kasallangan guruhdagi cho‘qqini pasaytiradi va kechiktiradi, ammo yakuniy hajmga ta’sir qilmaydi.

1-rasm. Turli R0 qiymatlarida yuqtiruvchilar soni I(t) ning o‘zgarishi 1-rasmdan ko‘rinadiki, R0 = 1,4 da epidemiya sekin rivojlanadi, R0 = 4,9 da esa yuqtiruvchilar soni qisqa muddatda keskin o‘sib, so‘ng tez kamayadi. Yashirin davr ta’siri ham tekshirildi (R0 = 3,5). 1/σ = 2, 5 va 10 kun bo‘lganda cho‘qqi mos ravishda 48-, 68- va 94-kunda kuzatiladi, cho‘qqidagi yuqtiruvchilar soni 27 254, 20 177 va 14 240 kishini tashkil etadi, yakuniy kasallanish ulushi esa har uchala holatda 0,966 bo‘lib qoladi. Demak, yashirin davr jarayonni vaqt bo‘yicha cho‘zadi va cho‘qqini pasaytiradi, ammo (7) ga ko‘ra yakuniy hajmni o‘zgartirmaydi. Emlashning ta’siri 2-jadvalda keltirilgan (β = 0,5 kun−1, R0 = 3,5). p = 0,3 da cho‘qqidagi kasallar soni 2,2 baravar kamayadi va cho‘qqi 27 kunga kechikadi; p = 0,5 da kamayish 6,4 baravarga yetadi. p = 0,75 > pc bo‘lganda esa samarali reproduktiv son 0,875 < 1 bo‘ladi, kasallar soni monoton kamayadi va epidemiya yuz bermaydi. Bu natija (6) formulasi bilan to‘liq mos keladi. 2-jadval. Dastlabki immun ulush p ning ta’siri (SEIR, R0 = 3,5) Kasallanganlar p R0(1 − p) Cho‘qqi kuni Cho‘qqidagi I, kishi ulushi NUKUS · 2026

0 3,50 68 20 177 0,966 0,30 2,45 95 9 099 0,620 0,50 1,75 145 3 159 0,356 0,75 0,88 — — < 0,001 X A L Q A R O I L M I Y- A M A L I Y K O N F E R E N S I YA

Xulosa Tadqiqot natijalariga ko‘ra, SEIR modelida epidemiyaning barcha asosiy ko‘rsatkichlari bazaviy reproduktiv son R0 orqali belgilanadi: R0 > 1 bo‘lganda epidemiya rivojlanadi, uning o‘sishi bilan cho‘qqi tezlashadi va kasallanganlar ulushi 51,1% dan 99,2% gacha ortadi. Emlash yoki boshqa choralar orqali samarali reproduktiv sonni birdan pasaytirish epidemiyaning oldini oladi; R0 = 3,5 bo‘lgan kasallik uchun zarur immun ulush kamida 71,4% ni tashkil etadi. Amaliy qo‘llash uchun model parametrlarini (β, σ, γ) real epidemiologik ma’lumotlar asosida baholash, aholini yosh guruhlariga ajratish va stoxastik modellarni qo‘llash tavsiya etiladi. Bir jinsli aralashuv va o‘zgarmas aholi soniga « O ‘ Z B E K I S T O N O L I M A AY O L L A R I N I N G M A M L A K AT T A R A Q Q I Y O T I G A Q O ‘ S H AY O T G A N H I S S A S I »

asoslangan bu model sifat tahlili uchun xizmat qiladi, aniq prognoz uchun esa qo‘shimcha kalibrlash talab etiladi.