KVADRAT DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI

Ushbu tezisda diofant tenglamalari turlari, kvadrat dDiofant tenglamalarini yechishusullari o‘rganilgan. Yechish usullari misollar orqali ko‘rsatib berilgan

KVADRAT DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI

Axmadjonova Oydinxon Soyibjon qizi, Farg‘ona davlat texnika universiteti o‘ituvchisi, oydinoyaxmadjonova94@gmail.com, [telefon raqami yashirilgan]

Annotatsiya. Ushbu tezisda diofant tenglamalari turlari, kvadrat dDiofant tenglamalarini yechish usullari o’rganilgan. Yechish usullari misollar orqali ko‘rsatib berilgan. Kalit so‘zlar. Diofant tenglamalari, Pell tenglamasi, Pifagor tenglamasi, tenglamaning umumiy va xususiy, boshlang‘ich yechimlari.

METHODS FOR SOLVING QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS

Akhmadjonova Oydinkhon Soyibjon kizi, Teacher of Fergana State Technical University, oydinoyakhmadjonova94@gmail.com , [telefon raqami yashirilgan]

Annotation. This thesis studies the types of Diophantine equations, methods for solving quadratic Diophantine equations. The methods of solution are shown through examples. Keywords. Diophantine equations, Pell equation, Pythagorean equation, general and particular, initial solutions of the equation.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Ахмаджонова Ойдинхон Сойибжон кызы, Преподаватель Ферганского государственного технического университета, oydinoyakhmadjonova94@gmail.com , [telefon raqami yashirilgan]

Аннотация. В данной диссертации изучаются типы диофантовых уравнений, методы решения квадратных диофантовых уравнений. Методы решения показаны на примерах. Ключевые слова: Диофантовы уравнения, уравнение Пелля, уравнение Пифагора, общее и частное, начальные решения уравнения.

Matematikada Diofant tenglamalari — bu noma’lumlar butun son bo‘lishi kerak bo‘lgan tenglamalardir. Ular qadimgi yunon matematigi Diofant nomi bilan atalgan. Bunday tenglamalarni yechishning maqsadi — barcha butun sonli yechimlarni topishdir. Masalan: 3x + 5y = 11, yoki x² + y² = z² kabi. Quyida biz Diofant tenglamalarini turlarini va ularning yechimlarini o’rganamiz. 1. Chiziqli Diofant tenglamalar 2. Kvadrat Diofant tenglamalari. 3. Nostandart kvadrat tenglamalar Kvadrat Diofant tenglamalari 1)Pell tenglamasi. Diofant tenglamalari ichida ikkinchi darajali Pell tenglamasi deb nomlanuvchi x − ay = 1 koʻrinishidagi tenglamalar koʻp uchraydi, bu yerda a butun musbat sonlar boʻlib tenglama 2 2

toʻla kvadrat shaklida ifodalanmaydi. x − ay = 1 koʻrinishidagi tenglamalar aniqmas Ferma 2 2

tenglamasi deb ham nomlanadi. (1;0) tenglamaning trivial ildizlari deyiladi. Tenglamaning qolgan ildizlari trivial emas deyiladi. Pell tenglamasining eng kichik notrivial yechimi x  a y mumkin boʻlgan eng kichik qiymatni oladi. Pell tenglamasining ildizlari cheksiz koʻp. Agar x0,y0 tenglamaning eng kichik notrivial ildizi boʻlsa Nyuton binomi formulasidan foydalanib x 0  a y 0 yoyiladi. Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil boʻladi:  ( ) n x0 + a y 0 = xn + a y n   ( ) n  x0 − a y 0 = xn − a y n  Pell tenglamasining umumiy ildizlarini topishda zanjir kasrdan ham foydalanish mumkin. Teorema. (x,y) - Pell tenglamasining musbat ildizi boʻlsin. U holda x/y qiymat a zanjir kasrga ifodalaydi. Teorema. a zanjir kasr elementlari ketma-ketligi davrining uzunligi n boʻlsin. U holda a zanjir kasrning surat va maxraji Pell tenglamasining yechimi boʻladi. Zanjir kasr a =  a 0 ; a1 ; a 2 ,... boʻlib uning davri uzunligi S boʻlsin. S juft va toq boʻlishi PS −1 mumkin, agar S juft boʻlsa unga mos kasr quyidagi olinadi: =  a 0 ; a1 ; a 2 ;....; a S −1  . Bunda Pell Q S −1 tenglamasining eng kichik natural ildizi quyidagi koʻrinishda boʻladi: x = PS −1 , y = Q S −1 . Agar S toq boʻlsa, x = P2 S −1 , y = Q 2 S −1 . Boshlang’ich ildizni toipishda x = 1 + Ay teng son olinadi, ya’ni: 2 2

1 p x0 A = a0 + = = . 1 q y0 a1 + a 2 + ... an−2 8-misol. x − 15 y = 1 tenglamani butun sonlarda yeching. 2 2

1  1 1  15 = 3 +  a1 = =1+ ; a1  15 − 3 a2 

15 − 3 1  6 1  1 Yechish: =  a2 = =6+ ; a3 = = a1 6 a2  15 − 3 a3  15 − 3 p 1 4 x1 =3+ = = q 1 1 y1  x1 = 4  x n +1 = 4 x n + 15 y n Javob:    y1 = 1,  y n +1 = 4 y n + x n .

Tushuntrish (2-usul). x − Ay = 1 tenglamani butun sonlarda yechish qoidasi: bu yerda quyidagi holatlar kuzatiladi: 2 2

a) A=n2 bo‘lsa, x − n y = 1 2 2 2 ( x − ny ) ( x + ny ) = 1 tenglama natural sonlar to‘plamida yechimga ega emas, uning butun ildizlari mavjud (1; 0), (-1; 0) qanoatlantiradi: ( x − ny )( x + ny ) = 1  1 = ( − 1)  ( − 1) tenglamadan kelib chiqadi. b) Agar An2 bo‘lsa, x = 1 + Ay tenglamadan tanlash orqali boshlang‘ich ildizlari topiladi. Ba’zi 2 2

holatlarda tanlash juda ham qiyin bo‘ladi, bunda esa boshlang‘ich ildiz quyidagi qoidalardan topiladi: 1 p x1 A = x0 + = = . 1 q y1 x1 + x 2 + ... xn−2 Tenglamaning umumiy ildizi quyidagi teoremadan topiladi. Teorema. x − Ay = 1 tenglamada An2 bo‘lsa, uning umumiy ildizlari quyidagicha topiladi: 2 2

 x n + 1 = x1 x n + A y 1 y n   y n + 1 = x1 y n + y 1 x n Bu yerda (x1;y1) tenglamaning boshlang’ich ildizi.  9-misol. x − 3 y = 1 tenglamani butun sonlarda yeching.

 Yechish: x = 1 + 3 y y = 0;  1;  2 ,..., qiymatlar beriladi,

y1 = 1, x1 = 2 y 2 = − 1, x 2 = − 2.  x n +1 = 2 x n + 3 y n Umumiy ildiz   y n +1 = 2 y n + x n Tekshirib ko’ramiz: n=1 bo’lsin,  x n +1 = 2 x n + 3 y n = 7  x n +1 = 2 x n + 3 y n = 26  ,n = 2  y n +1 = 2 y n + x n = 4  y n +1 = 2 y n + x n = 15 26 − 3  15 =1 3 21

 x n +1 = 2 x n + 3 y n Javob:   y n +1 = 2 y n + x n

 2) ax − by = 1 tenglamani butun sonlarda yechish qoidalari

Bunday kvadrat Diofant tenglamasini yechish uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz.  Teorema. ax − by = 1 tenglamada a n  n , bn  k 2 2 2 bo’lsa, uning umumiy ildizlari quyidagi formuladan topiladi:  x n +1 = x1u n + by1v n   y n +1 = x1u n + ay1v n Bu yerda (x1;y1) tenglamaning boshlang’ich ildizi va u n va v n u − abv = 1 2 2 tenglamaning boshlang’ich ildizlari. Izoh. Boshlang’ich ildizni topishda quyidagi qoidalardan ham foydalaniladi:

( u 1 + v1 ab = x1 a + y1 b . )  10-misol. 7 x − 6 y = 1 tenglamani butun sonlarda yeching.

  x n +1 = u n + bv n Yechish: 7 x = 1 + 6 y  u va v lar uchun boshlang’ich ildizlarni topamiz.  y n + 1 = u n + av n  x1 = 1 1 − usul , u − 42 v = 1 2 2  m a ' lum  1 y = 1

u 1 + 42  2 u 1v1 + 42 v1 = 6 + 2 42 + 7 = 13 + 2 42

 u 12 + 42 v12 = 13 1   u 1 v1 = 1 u1 = =?  2 u 1 v1 42 = 2 42 v1

1 1 42 + 6 1 42 = 6 + x0 = 6 x1 = = =2+ x1 42 − 6 6 x2 1 1 13 u1 x1 = 2 x3 = = x1 = 2 6+ = = 42 − 6 2 2 v1 Demak, u1=13 va v1=2 boshlang’ich ildiz ekanligidan  x n +1 = x1u n + by1v n  x n +1 = u n + bv n  x 2 = 13 + b  2 = 13 + 6  2 = 25   n = 1 Javob:  y n +1 = x1u n + ay1v n  y n +1 = u n + av n  y 2 = 13 + a  2 = 13 + 7  2 = 27 (1;1 ) , ( 25; 27 ) .  3) x + y = A tenglamani butun sonlarda yechish qoidalari

 Agar x + y = A tenglamani butun sonlarda yechishda 2 ta holat ko’rib chiqiladi.

Agar tenglamaning o’ng tomonidagi ozod son 4 ga karrali bo’lmasa, qoldiqlar 1,2,3, bo’adi. Har qanday sonning kvadratni 4 ga bo’lganda 0 yoli 1 qoldiq qolishi ma’lum. Agar A=4A 1+2 bo’lsa, u holda x va y

 A toq son sifatida qaraladi va x<y shart ostida x + y  y + y = A  2 y = A   y  A va 2 2 2 2 2

kvadrati A va A  3 ( mod 4 ) bo’lsa, butun sonlar to’plamida tenglamaning yechimi mavjud emas. Agar A  2 ( mod 4 ) bo’lsa, x va y toq son bo’ladi. Agar A  0 ( mod 4 ) bo’lsa, u holda x=2x1, y=2y1 juft  4 x1 + 4 y1 = 4 A1  x1 + y1 = A1 kelib chiqadi. A1 = 4 A2 2 2 2 son sifatida qaraladi. bo’lsa,

( x1 = 2 x 2 ; y1 = 2 y 2 )  x 2 2 + y 2  = A2 va hokazo. Tenglamaning o’ng qismidagi ozod son toq bo’lgunga qadar davom ettiramiz.  11-misol. x + y = 160 tenglamani butun sonlarda yeching.

Yechish: 160 = 4  40 x = 2 x1 ; y = 2 y1 demak juft son 4 x1 + 4 y1 = 160  x1 + y1 = 40 x1 = 2 x 2 ; y1 = 2 y 2 demak juft son 4 x 2 + 4 y 2 = 40  x 2 + y 2 = 10 10  2 ( m od 4 ) y2  x2

5  x 2  10 → ( x 2 = 3; y 2 = 1 ) , ( x1 = 6; y1 = 2 ) , ( x = 12, y = 4 ) Tekshirish: 12 + 4 = 160 Javob : (12; 4 ) 2 2

 4) x + y = z tenglamani butun sonlarda yechish (Pifagor tenglamasi) 2 2

Bu tenglama ham uch holda qaraladi:  x + y = z tenglama yechimi butun sonlarda qidirilganda 2 2 a) x = 2 mn , y=m −n , z=m +n , m  n, m, n  Z 2 2 2 2

 x + y = nz tenglama yechimi butun sonlarda qidirilganda 2 2 b)  n x = (u + v )  2 n  almashtirish orqali Pifagor teoremasiga keltiriladi.  2  Z  n    y= (u − v )  ax + y = z tenglama yechimi butun sonlarda qidirilganda 2 2 c) ak − 1 ak + 1 2 2

x = k; y= ; z= ; Agar a-toq bo’lsa, k-toq son 2 2 x = 2k ; y = ak − 1; z = ak + 1; Agar a-juft bo’lsa. 2 2

Ushbu maqolada ixtiyoriy darajali diofant tenglamalarining butun va ratsional yechimlarini topish usullari, so‘ngra ikki noma'lumli chiziqli tenglamalarni yechish usullari batafsil bayon etildi, misollar keltirildi. So‘ngra tenglamalarning yechimi Avval Yevklid algoritmi bilan, so‘ngra zanjirli kasr yordamida qidirildi. Har bir usul afzalligi, bajarilash jaroni ham nazariy ma’lumotlar bilan, ham misollar bilan ko‘rsatib o‘tildi. Diofant tenglamalarining boshqa tenglamalardan farqi tenglama ildizlari butun sonlar to‘plamidan qidirishidadir,