KONGRUENT ALMASHTIRISHLAR

Mazkur ilmiy maqolada geometriyada muhim o‘rin tutuvchi kongruentalmashtirishlar nazariyasi tahlil qilinadi. Kongruent almashtirishlar — bu fazoda shakllarni o‘lcham vashaklini o‘zgartirmasdan joyini o‘zgartiruvchi o‘zgarishlardir. Maqolada ushbu almashtirishlarning asosiyturlari — parallel siljitish, aylantirish va akslantirish alohida ko‘rib chiqilib, har birining analitik ifodasi,matematik isboti hamda amaliy qo‘llanilish sohalari yoritilgan. Shuningdek, kongruent almashtirishlarninginvariantlari va ularning kombinatsiyasi orqali fazoda murakkab harakatlar hosil bo‘lishi ilmiy asosdaisbotlangan.

Fоydаlаnilgаn аdаbiyоtlаr 1. B. X. Xоdjаyev Umumiy pedаgоgikа nаzаriuаsi vа аmаliyоti, Tоshkent-2017. 2. I.J. Xаsаnbоyev vа bоshqаlаr, Pedаgоgikа nаzаriyаsi vа tаrixi, Tоshkent - 2021 3. X. Ibrаgimоv, SH. Аbdullаyevа. Pedаgоgikа nаzаriyаsi (dаrslik). T., «Fаn vа texnоlоgiyа», 2008 4. Hоshimоv K. vа bоshqаlаr. Pedаgоgikа tаrixi. — T., О'qituvchi, 1996.Khаydаrоv, S. А. (2021). The rоle оf the use оf fine аrts in teаching the histоry оf the cоuntry. Internаtiоnаl scientific аnd prаcticаl cоnference.

Xoshimova Dilobar Kuchkarovna Shahrisabz Davlat pedagogika instituti katta o‘qituvchisi Email:dilobarhoshimova561@gmail.com Boymurodova Shaxzoda Alisher qizi Shahrisabz Davlat pedagogika instituti talabasi Email:shahzodaboymurodova307@gmail.com

Annotatsiya. Mazkur ilmiy maqolada geometriyada muhim o‘rin tutuvchi kongruent almashtirishlar nazariyasi tahlil qilinadi. Kongruent almashtirishlar — bu fazoda shakllarni o‘lcham va shaklini o‘zgartirmasdan joyini o‘zgartiruvchi o‘zgarishlardir. Maqolada ushbu almashtirishlarning asosiy turlari — parallel siljitish, aylantirish va akslantirish alohida ko‘rib chiqilib, har birining analitik ifodasi, matematik isboti hamda amaliy qo‘llanilish sohalari yoritilgan. Shuningdek, kongruent almashtirishlarning invariantlari va ularning kombinatsiyasi orqali fazoda murakkab harakatlar hosil bo‘lishi ilmiy asosda isbotlangan. Kalit so‘zlar: kongruentlik, izometriya, geometriya, siljitish, rotatsiya, simmetriya, masofa, burchak, koordinatalar, isbot.

Xoshimova Dilobar Kuchkarovna Shahrisabz Davlat pedagogika instituti katta o‘qituvchisi Email:dilobarhoshimova561@gmail.com Boymurodova Shaxzoda Alisher qizi Shahrisabz Davlat pedagogika instituti talabasi Email:shahzodaboymurodova307@gmail.com

Abstract. This scientific article analyzes the theory of congruent transformations, which play a significant role in geometry. Congruent transformations are changes that move shapes in space without altering their size or form. The article examines the main types of these transformations — translation, rotation, and reflection — providing their analytical representations, mathematical proofs, and practical applications. In addition, the invariants of congruent transformations and the formation of complex motions in space through their combinations are demonstrated with rigorous mathematical reasoning. Keywords: congruence, isometry, geometry, translation, rotation, reflection, distance, angle, coordinates, proof.

Xoshimova Dilobar Kuchkarovna Shahrisabz Davlat pedagogika instituti katta o‘qituvchisi Email:dilobarhoshimova561@gmail.com Boymurodova Shaxzoda Alisher qizi Shahrisabz Davlat pedagogika instituti talabasi Email:shahzodaboymurodova307@gmail.com

Аннотация. В данной научной статье анализируется теория конгруэнтных преобразований, играющих значительную роль в геометрии. Конгруэнтные преобразования — это изменения, которые перемещают фигуры в пространстве, не изменяя их размер и форму. В статье рассматриваются основные типы таких преобразований — параллельный перенос, поворот и отражение — с предоставлением их аналитических представлений, математических доказательств и практических приложений. Кроме того, демонстрируются инварианты конгруэнтных преобразований и формирование сложных движений в пространстве посредством их комбинаций с использованием строгих математических рассуждений. Ключевые слова: конгруэнция, изометрия, геометрия, перенос, поворот, отражение, расстояние, угол, координаты, доказательство.

Kirish. Geometriya fanining asosiy maqsadlaridan biri — shakllarning o‘lchovli va joylashuv xossalarini o‘rganishdir. Shaklning o‘lchamlari o‘zgarmas, lekin fazodagi joylashuvi o‘zgaradigan o‘zgarishlar kongruent almashtirishlar deb ataladi. Kongruent almashtirishlar Evlid geometriyasining ajralmas qismi bo‘lib, ular yordamida tekislikdagi har qanday figuraning o‘z-o‘ziga o‘xshashligi (izometriya) isbotlanadi. Bunday o‘zgarishlar natijasida shaklning uzunligi, burchaklari, yuzasi va shakli o'zgarmaydi. [1] Kongruent almashtirishlar nafaqat nazariy geometriyada, balki fizikada, muhandislikda, kompyuter grafikasi, mexanika, arxitektura, 3D-modellashtirish va robototexnika sohalarida ham keng qo‘llaniladi. [3] Kongruent almashtirish tushunchasi Ta’rif: Tekislikdagi har bir nuqtani boshqa nuqtaga o‘tkazuvchi va har qanday ikki nuqta orasidagi masofani o‘zgartirmaydigan o‘zgarish kongruent almashtirish (izometriya) deyiladi. Agar A(x₁, y₁) va B(x₂, y₂) nuqtalar uchun |A'B'| = |AB| bo‘lsa, demak, o‘zgartirish kongruentdir. Matematik ifodasi: √((x'₂ − x'₁)² + (y'₂ − y'₁)²) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Kongruent almashtirishlarning asosiy turlari: Parallel siljitish (Translatsiya) .Parallel siljitishda har bir nuqta bitta vektor bo‘yicha bir xil masofaga siljitiladi. [5] Agar vektor a = (p, q) bo‘lsa: x' = x + p, y' = y + q Isboti. A(x₁, y₁) va B(x₂, y₂) nuqtalar uchun A'B' = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) = AB Demak, masofa o‘zgarmaydi, ya’ni bu kongruent almashtirish. 1-misol: A(1, 3) nuqta vektor (2, −1) bo‘yicha siljitilsa → A'(3, 2). [7]

Aylantirish (Rotatsiya).Aylantirishda shakl berilgan markaz atrofida burchak α ga buriladi. [5] Agar aylanish markazi (0, 0) bo‘lsa: x' = xcosα − ysinα y' = xsinα + ycosα Isbot. Masofa √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) o‘zgarmasligi sababli, aylantirish kongruent almashtirishdir. 2-misol: A(1, 0) nuqta 90° ga aylantirilsa → A'(0, 1). [7]

Akslantirish (Simmetriya).Akslantirishda shakl biror o‘qga yoki nuqtaga nisbatan teskari aks ettiriladi. [8] Formulasi: OX o‘qiga nisbatan: (x' = x, y' = −y) OY o‘qiga nisbatan: (x' = −x, y' = y) Boshlang‘ich nuqtaga nisbatan: (x' = −x, y' = −y) Isbot. Masofa saqlanadi, shuning uchun akslantirish ham kongruent almashtirishdir. 3-misol: A(2, 3) ni OX o‘qiga nisbatan akslantirsak → A'(2, −3). [7] Kongruent almashtirishlarning umumiy xossalari: 1. Masofa (uzunlik) saqlanadi. 2. Burchak o‘lchami o‘zgarmaydi. 3. To‘g‘ri chiziqlar to‘g‘ri chiziqlikka o‘tadi. yuzi va perimetri o‘zgarmaydi. 4. Ketma-ket kongruent almashtirishlar kompozitsiyasi ham kongruent almashtirishdir. Analitik ko‘rinishdagi umumiy formula Har qanday kongruent almashtirish quyidagicha yoziladi: x' = a₁₁x + a₁₂y + a₁ y' = a₂₁x + a₂₂y + a₂ Bu yerda [a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂] ortogonal matritsa bo‘lib, shartlar: a₁₁² + a₂₁² = 1, a₁₂² + a₂₂² = 1, a₁₁a₁₂ + a₂₁a₂₂ = 0. [2]

Amaliy qo‘llanilishi. Kongruent almashtirishlar quyidagi sohalarda keng qo‘llaniladi: Kompyuter grafikasi: ob’ektlarni burish, siljitish, simmetrik joylashtirish. Robototexnika: manipulyatorlar harakatini modellashtirish. Muhandislik grafikasi: chizmalarni masshtabsiz ko‘chirish. Fizika: qattiq jism harakati. Arxitektura va dizayn: o‘xshash elementlarni yaratish. Xulosa.Kongruent almashtirishlar geometriyaning asosiy izometrik o‘zgarishlari bo‘lib, ular shakllarning o‘lchamini, masofa va burchak o‘lchamlarini saqlaydi. Har bir tur — siljitish, aylantirish va akslantirish — matematik formulalar orqali tavsiflanadi. Ular yordamida shakllar joy almashtiradi, lekin geometrik xususiyatlarini yo‘qotmaydi. Kongruent almashtirishlar nazariy va amaliy fanlarda fazoviy modellarni yaratishda muhim o‘rin tutadi.