BIR KOMPONENTALI NOCHIZIQLI MUHITLARDA YUTILISH JARAYONI ISHTIROKIDAGI O‘ZGARUVCHAN ZICHLIKDAISSIQLIK O‘TKAZUVCHANLIK JARAYONLARINI SONLI MODELLASHTIRISH

Mazkur ishda yutilish jarayoni ta‘sirida bo‘ladigan bir komponentali nochiziqlimuhitda issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini tavsiflovchi nochiziqli parabolik tenglamalar asosidatuzilgan matematik modellar o‘rganilgan. Tadqiqotning asosiy maqsadi — ushbu modellarni tahlil qilishuchun analitik usullarni ishlab chiqish, shuningdek, ularning sonli yechimlarini hisoblash va natijalarnivizual shaklda aks ettirish imkonini beruvchi dasturiy kompleks yaratishdan iborat.

BIR KOMPONENTALI NOCHIZIQLI MUHITLARDA YUTILISH JARAYONI ISHTIROKIDAGI O‘ZGARUVCHAN ZICHLIKDAISSIQLIK O‘TKAZUVCHANLIK JARAYONLARINI SONLI MODELLASHTIRISH

Mukimov Askar Shuxratovich Alfraganus universiteti raqamli texnologiyalar fakulteti raqamli texnologiyalar kafedrasi dotsenti v.b., Phd, [telefon raqami yashirilgan], mukimovaskar89@gmail.com

Anotatsiya: Mazkur ishda yutilish jarayoni ta’sirida bo‘ladigan bir komponentali nochiziqli muhitda issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini tavsiflovchi nochiziqli parabolik tenglamalar asosida tuzilgan matematik modellar o‘rganilgan. Tadqiqotning asosiy maqsadi — ushbu modellarni tahlil qilish uchun analitik usullarni ishlab chiqish, shuningdek, ularning sonli yechimlarini hisoblash va natijalarni vizual shaklda aks ettirish imkonini beruvchi dasturiy kompleks yaratishdan iborat. Kalit so‘zlar: nochiziqli issiqlik o‘tkazuvchanlik, parabolik tenglama, yutilish, avtomodel usul, etalon tenglama, kritik eksponent, yechim asimptotikasi, ayirmali sxema, iteratsion usul, sonli hisoblash,

barqarorlik, issiqlik tarqalish tezligi, fazoviy lokallanish, Samarskiy–Sobol usuli, sonli–analitik modellashtirish.

NUMERICAL MODELING OF HEAT CONDUCTION PROCESSES WITH ABSORPTION IN ONE-COMPONENT NONLINEAR MEDIA WITH VARIABLE DENSITY

Mukimov Askar Shuxratovich PhD, Associate Professor at the Department of Digital Technologies, Faculty of Digital Technologies, Alfraganus University

Abstract: In this study, mathematical models describing heat conduction processes in a onecomponent nonlinear medium with absorption effects are investigated based on nonlinear parabolic equations. The main objective of the research is to develop analytical methods for analyzing such models, as well as to create a software package that enables the computation of numerical solutions and the visualization of results. Keywords: nonlinear heat conduction, parabolic equation, absorption, automodel method, reference equation, critical exponent, solution asymptotics, difference scheme, iterative method, numerical computation, stability, heat propagation rate, spatial localization, Samarskii-Sobol.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОГЛОЩЕНИЕМ В ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

Мукимов А.Ш., PhD, доцент кафедры цифровых технологий, факультет цифровых технологий, Университет Альфраганус

Аннотация: В данной работе исследованы математические модели теплопроводности в однокомпонентной нелинейной среде с учетом эффекта поглощения, описываемые нелинейными параболическими уравнениями. Основная цель исследования заключается в разработке аналитических методов для анализа таких моделей, а также в создании программного комплекса, обеспечивающего нахождение численных решений и визуализацию полученных результатов. Ключевые слова: нелинейная теплопроводность, параболическое уравнение, поглощение, метод автомодели, опорное уравнение, критический показатель, асимптотика решения, разностная схема, итерационный метод, численные вычисления, устойчивость, скорость распространения тепла, пространственная локализация, Самарский-Соболь.

Kirish Nochiziqli issiqlik o‘tkazuvchanlik masalalarini sonli usullar yordamida yechishda boshlang‘ich yaqinlashuvni to‘g‘ri aniqlash natijaning barqarorligi va ishonchliligi uchun asosiy omillardan biridir. Ayniqsa, o‘zgaruvchan zichlikka ega nochiziqli muhitlarda bu masala yanada dolzarb bo‘lib, boshlang‘ich shartlar zichlikning vaqt va fazodagi dinamikasini to‘liq ifodalay olishi zarur. Bunday yondashuv yechimning fizik mazmunini — uning fazoviy chegaralanganligini, lokalizatsiya darajasini hamda o‘sish yoki so‘nish xususiyatlarini saqlab qolishga imkon beradi. Natijada, hisoblash jarayoni tezroq konvergensiyaga erishadi va yechim haqiqiy fizik jarayonni aniqroq aks ettiradi. Shuningdek, o‘zgaruvchan zichlikli muhitlarda yechimning uzoq vaqtli (asimptotik) xattiharakatini o‘rganish uchun ayrim sonli parametrlarning qiymatlarini aniqlash muhimdir. Ushbu parametrlar, masalan, kritik yoki Fudjita tipidagi qiymatlar, muhit zichligining o‘zgarishi bilan yechimning o‘sish tezligi va barqarorlik chegaralarini belgilaydi. Fudjita ilk bor bunday kritik qiymatlarni yarimchiziqli issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi misolida o‘rganib chiqqan [1;105–113 b.]. Asosiy qism Quyidagi Koshi masalasini ko‘rib chiqamiz. u ( ) p−2 m −1  =   ( x) u u u − u * , k (1) t

u (0, x ) = u 0 ( x ), x  R , N (2) p  ( x ) = x ,  * = k ( p − 2) + m + n , s = pN / ( p − n ), p  n (  * - kritik parametr, N – fazo s o’lchovi). Fizik nuqtai nazardan qaraganda, cheksiz issiqlik o‘tkazuvchi muhitga (ya’ni chegarasiz fazoga), nochiziqli yutilishga ega bo‘lgan holda, issiqlik diffuziyasi (2.1)–(2.2) tenglamalar bilan tavsiflanadigan jarayonga tashqaridan ma’lum bir boshlang‘ich haroratli buzilish u 0 ( x )  0 kiritilgan, bu buzilish etarlicha ixtiyoriy shaklda bo‘lishi mumkin. Quyida keltirilgan natijalar shuni ko‘rsatadiki, kritik qiymatlar holatida (2.1)–(2.2) masalaning yechim asimptotikasi boshqacha bo‘ladi. Ma’lum mos taxminlar ostida, Koshi masalasi (1)–(2) uchun zaif yechimning mavjudligi, yagona yechimligi va barqarorligi masalalari hamda ularning turli variantlari ko‘plab mualliflar tomonidan [2; 2310–2323 b., 3; 326–330 b., 4; 1–21 b.] manbalarda keng o‘rganilgan. (1)–(2) masala uchun bizda quyidagi bir o‘lchovli nochiziqli issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi boshlang‘ich va chegaraviy shartlar bilan mavjud: p−2 u   m −1  u u  k

 − u * u (0, x ) =  ( x )  0,  =   ( x) u t x  x x  (3)   n  ( x) = x , 0  x  b . (3) masala uchun x o‘zgaruvchi bo‘yicha bir tekis to‘r (setka) ni h qadam bilan, va vaqt bo‘yicha  qadamli vaqt to‘rini quramiz  h =  xi = ih , h  0, i = 0,1,..., n , hn = b   =  t j = j ,   0, j = 0,1,..., m , m = T . Masalani (3) noaniq ikki qatlamli ayirmali sxema bilan almashtiramiz va quyidagi ayirmali sxemani olamiz, uning xatosi  ( h +  ) ga teng:

 y i j +1 − y i j  x n a ( y j +1 )( y j +1 − y j +1 ) − x n a ( y j +1 )( y j +1 − y j +1 )  -  = h   i +1 i +1 i +1 i −1  2 i i i i

   - ( y j +1 ) , i = 1, 2,..., n − 1; j = 0,1,..., m − 1,  i

 y0 = u x , (2.18) 0 ( i) i = 0,1,..., n ,  i  y j =  (t ), j = 1, 2,..., m , 0 1 j   y j =  (t ), j = 1, 2,..., m ;  n 2 j

Bizning holatda a i +1 va a i — issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyentlari hisoblanadi. a i +1 va a i ni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz [5; 280 b.]. p−2 p−2 1  j + 1 m −1 ( y i + 1 ) − ( y i  j +1 k j +1 k j +1 k j +1 k m −1 ) − ( y i −1 ) ) = ( yi ) +(y ) j +1 ) j +1 ( yi a i +1 ( y i +1 , 2 h h   p−2 p−2 1  j + 1 m −1 ( y i  j +1 k j +1 k j +1 k j +1 k ) − ( y i −1 ) m −1 ( y i −1 ) − ( y i − 2 ) ) =  ( y i −1 ) + ( yi ) j +1 j +1 ai ( y . 2 h h  

j +1 Algebraik tenglamalar sistemasi (2.18) y . ga nisbatan chiziqli emas. Nochiziqli tenglamalar sistemasi (2.18) ni yechish uchun iteratsion usulni qo‘llaymiz va natijada quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini olamiz [5; 282 b.]. s +1 j +1 − yi 1   s j + 1   s + 1j + 1 s + 1j + 1   s j + 1   s +1j + 1 s +1j + 1   j yi n n = 2  i +1 x a i +1  y y   i +1 − y  − x a i y   y i − y i −1   −  i i h        (2.19) s * − ( yi ) , j +1

s = 0,1, 2,... j +1 Endi (2.19) algebraik tenglamalar sistemasi y ga nisbatan chiziqli bo‘ladi. s +1 0 j +1 = y dan olinadi. j Boshlang‘ich iteratsiya sifatida y i , y ning qiymati oldingi vaqt qadamidagi y Iteratsion sxema bo‘yicha hisoblashda iteratsiya aniqligi  belgilanadi va jarayon quyidagi shartlar bajarilgunga qadar davom ettiriladi. s +1 s m ax y i − y i   . 0i n

−3 .  = 10 Ayirmali sxema (2.19) dan foydalanib, uch diagonalli matritsaning A,B,C,F koeffitsiyentlarini aniqlaymiz va quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini progonka (Thomas) usuli yordamida yechamiz [5; 414 b.]: s s +1 s s +1 s s +1 s A i y i −1 − C i y i + B i y i +1 = − F i , i = 1, 2,..., n − 1 , y 0 =  1 y1 +  1 , y N =  2 y N −1 +  2 где s s  ai ( a )x  a i +1 ( a )x j +1 n j +1 n s s i i +1 Ai = 2 , Bi = 2 , h h s s  ( ) , s = 0 ,1, 2 ... , i = 1, 2 ,..., n . s s s j +1 C i = Ai + B i + 1 , F i = yi − yi T=10; m=2; a=0.7; p=3;k=2

Rasm 1. O‘zgaruvchan zichlikning jarayonga ta’siri. n=0.3, n=0.5 Xulosa

Ko‘rib turganimizdek, n ortishi bilan u funksiyalarning tarqalish chuqurligi kamayadi. Shuningdek, haroratning tezroq o‘sishi kuzatiladi. Buni shunday tushuntirish mumkin: zichlik yuqori bo‘lgan joyda issiqlik tezroq tarqaladi. m, k va p parametrlarining ta’siri ko‘plab mualliflar tomonidan o‘rganilgan, shuning uchun biz bu holatlar ustida batafsil to‘xtalib o‘tmaymiz. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati: 1. H. Fujita On the blowing up of solutions of the Cauchy problem // for Journal of the Faculty of Science University of Tokyo A. – 1966. – vol. 16, – pp. 105–113. 2 P. Cianci., A. V. Martynenko., A. F. Tedeev.The blow-up phenomenon for degenerate parabolic equations with variable coefficients and nonlinear source // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications A, – 2010. – vol. 73, no. 7, – pp. 2310–2323. 3. E. Di Benedetto. Degenerate Parabolic Equations // Universitext, Springer, New York, NY, USA, – 1993. 4. J. N. Zhao, On the Cauchy problem and initial traces for the evolution p-Laplacian equations with c.ongly nonlinear sources // Journal of Differential Equations, – 1995. – vol. 121, no. 2, – pp. 329–383. 5. A.A. Samararskiy., A.V. Gulin. numerical methods // Nauka. – 1989. – p. 432. 6. O‘rmonjonov Azizbek Muhammadjon o‘g‘li. (2025). INKLYUZIV TA’LIMNING MOHIYATI, MAQSADI VA RIVOJLANISH TENDENSIYALARI. (2025). Kelajak o’qituvchisi - Kelajak Bunyodkori, 1(2), 701-710.