TO‘RTINCHI TARTIBLI MURAKKAB TURDAGI LAPLAS OPERATORI QATNASHGAN TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALA

Maqolada to‘rtinchi tartibli murakkab turdagi tenglamalar uchun chegaraviy masala qaralgan bo‘lib, masalaning yechimining yagonaligi integral energiya usulida, yechimning mavjudligini isbotlashda integral tenglamalari nazariyasidan foydalanilgan.

TOʻRTINCHI TARTIBLI MURAKKAB TURDAGI LAPLAS OPERATORI QATNASHGAN TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALA Gʻoziyev Qobiljon Solijonovich fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent, Fargʻona Davlat Universiteti E-mail: goziyevqobiljon@gmail.com Sharifjonova Nozimaxon Soyibjon qizi matematika mutaxassisligi magistranti, Fargʻona Davlat Universiteti E-mail: sharifjonovanozimaxon@gmail.com https://doi.org/10.5281/zenodo.21771346 Annotatsiya: Maqolada toʻrtinchi tartibli murakkab turdagi tenglamalar uchun chegaraviy masala qaralgan boʻlib, masalaning yechimining yagonaligi integral energiya usulida, yechimning mavjudligini isbotlashda integral tenglamalari nazariyasidan foydalanilgan. Kalit soʻzlar: Grin formulasi, yuqori tartibli tenglama, Laplas operatori, yechimning yagonaligi, yechimning mavjudligi, energiya integrali.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА СЛОЖНОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩЕГО ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Гозиев Кобилжон Солижонович кандидат физико-математических наук, доцент, Ферганский государственный университет E-mail: goziyevqobiljon@gmail.com Шарифжонова Нозимахон Сойибжон кизи магистрант, Ферганский государственный университет E-mail: sharifjonovanozimaxon@gmail.com Аннотация: В статье рассматривается краевая задача для уравнения четвёртого порядка сложного типа. Единственность решения задачи доказана методом интегральной энергии, а при доказательстве существования решения использованы методы теории интегральных уравнений. Ключевые слова: формула Грина, уравнение высокого порядка, оператор Лапласа, единственность решения, существование решения, интеграл энергии.

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN EQUATION INVOLVING A FOURTH-ORDER LAPLACE OPERATOR OF COMPLEX TYPE Goziyev Qobiljon Solijonovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Fergana State University E-mail: goziyevqobiljon@gmail.com Sharifjonova Nozimaxon Soyibjon qizi Master’s student in Mathematics, Fergana State University E-mail: sharifjonovanozimaxon@gmail.com Abstract: The article considers a boundary value problem for a fourth-order equation of complex type. The uniqueness of the solution is proved by the integral energy method, while the existence of the solution is established using the theory of integral equations. Keywords: Green’s formula, higher-order equation, Laplace operator, uniqueness of the solution, existence of the solution, energy integral.

KIRISH Murakkab turdagi tenglamalar nazariyasi boʻyicha dastlabki natijalar M.A.Abduraxmonov, S.A.Aldashev, V.F.Volkodavov, V.N.Vragov, T.D.Djoʻrayev, T.Sh.Kalmenov, M.M.Meredov, A.M.Naxushev, M.S.Salohiddinov[1,2], M.M.Smirnov, K.V.Sobitov, M.A.Sadibekov, A.Q.Oʻrinov, V.Islomov va boshqalar tomonidan turli yoʻnalishlarda ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda yuqori tartibli tenglamalar bilan bir qator olimlar ilmiy izlanishlar olib bormoqda. Murakkab turdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar birinchi marta M.S.Salohiddinov[1,2], T.D.Djoʻrayev[3] tomonidan oʻrganildi. M.S.Salohiddinov va T.D.Djoʻrayev monografiyalarida kompozit va murakkab turdagi tenglamalarni oʻrganishga bagʻishlangan asarlarning umumiy koʻrinishi mavjud. TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI Ushbu 2 u  cu  f ( x, y ) (1) y 2 tenglamani D  ( x, y ) : 0  x  1,0  y  1 toʻgʻri toʻrtburchak sohada qaraymiz. Bu sohaning uchlarini A  0;0  , B 1;0  , C 1;1 , D  0;1 deb belgilaymiz.

2 2 Bunda   2  2 - Laplas operatori, c( x, y ), f  x, y  - berilgan funksiyalar. x y Masalaning qoʻyilishi. Shunday u ( x, y )  C ( D )  C ( D ) funksiyani topingki, u 2 4

D sohada (1) tenglamani va quyidagi (2)-(4) shartlarni qanoatlantirsin: u (0, y )  0 ( y ) u (1, y )  1 ( y ), 0  y 1 (2) u ( x,0)   0 ( x) u ( x,1)   1 ( x) , 0  x 1 u ( x,  x  1)   2 ( x), 0  x 1 (3) a  x  u y ( x,0)  b  x  u yy ( x,0)   3 ( x), 0  x 1 (4) Bu yerda  i ,  i ( i  0,3 ) lar berilgan funksiyalar boʻlib, yechimni koʻrsatilgan sinfdan boʻlishini ta’minlovchi kelishuv shartlarini qanoatlantiradi. TADQIQOT NATIJALARI Masala yechimining yagonaligi. Teorema. Agar berilgan masalaning yechimi mavjud boʻlsa va a  x c ( x , y )  0 , ( x, y )  D , 0 b x shartlar bajarilsa, u holda masalaning bittadan ortiq yechimi mavjud emas. Isbot. Masala yechimining yagonaligini isbotlash uchun (1) - (4) masalaning yechimi 2 ta deb faraz qilamiz. u1 va u2 funksiyalar (1)-(4) masalaning yechimi boʻlsin. U holda u  u1  u2

ham (1) tenglamani qanoatlantiradi. Bu yechimga mos chegaraviy shartlar bir jinsli boʻlib qoladi. Ya’ni i   i  f ( x, y )  0, i  0,1, 2,3 (5) Ushbu D soha D  ( x, y ) :   x  1   ,   y  1    koʻrinishida boʻlsin.  - D sohaning chegarasi. Berilgan (1) tenglamani u ( x, y) ga koʻpaytirib, D soha boʻyicha integrallaymiz: 2 D u( y 2 u  cu)dxdy  0 (6) 

D sohada quyidagi tenglik oʻrinli: 2     2  u u  u u  (u u )   (u u )  u 2  (u u )  u  (7) y 2 y y   y y y xy xy y yy yy  x y  (7) tenglikni (6) ga qoʻyamiz va Grin formulasini qoʻllaymiz:

 uu dx   u u dy   u u dx   (u  u  c( x, y)u )dxdy  0 (8) 2 2 2 y y xy y yy xy yy    D

Bu yerda (5) ni inobatga olib, (2)-(4) chegaraviy shartlardan foydalanamiz va har bir integralni alohida hisoblaymiz: J1   uu y dx 

  0 da bir jinsli shartlarga asosan J1  0 tenglik oʻrinli. (8) tenglikning 2-hadidagi integralda AB va CD da dy  0 boʻladi. U holda quyidagi J 2   u yu xy dy   u yu xy (1, y )dy   u yu xy (0, y )dy  BC DA

tenglik oʻrinli. Bir jinsli shartga asosan u y  0 boʻlib, J 2   u u dy  0 ekanligi  y xy

kelib chiqadi. BC va DA chiziqlarda u y u yy dan olingan integralni qarasak, BC va DA da dx  0 . Bundan J 3   u yu yy dx   u yu yy ( x,0)dx   u yu yy ( x,1)dx  AB CD

tenglik oʻrinli. Chegaraviy shartlarni hisobga olib, a  x 2  u yu yy ( x,0)dx   u yu yy ( x,1)dx   u yu yy ( x,1)dx    u y  x,0  dx AB CD CD b x koʻrinishga kelamiz. Bu integralda (3) shartdan foydalanamiz, ya’ni x   y  1 va dy   dx almashtirish bajaramiz, hamda teorema shartlariga asosan

tenglikka kelamiz. U holda (8) ifoda   0 da a  x 2  u y  x,0  dx   (u xy2  u yy )dxdy   c( x, y )u 2dxdy  0 (9) 0   b x D D koʻrinishni oladi. Oxirgi (9) tenglikda: a  x a) c ( x, y )  0 ,  0 boʻlsa, u holda u  0 ekani kelib chiqadi; b x a  x b) c ( x, y )  0 ,  0 boʻlsa, D sohada u xy  u yy  const boʻladi. b x u  C 2 ( D ) ekanligidan, u xy  u yy  0 tenglikni olish mumkin. Ulardan birini u yy  0 tenglamani integrallab, u  f ( x ) y  f1 ( x ) yechimga ega boʻlamiz. Bir jinsli chegaraviy shartlarga asosan u  0 ekani kelib chiqadi. a  x c) c ( x, y )  0 ,  0 boʻlsa, u y2  x,0   0 boʻladi. Bundan u  0 . Demak b x u1  u2 boʻlib, masala yechimi yagona boʻladi. Teorema isbotlandi. Masala yechimining mavjudligi 2-teorema. Agar quyidagi i'' ( y ),(0  y  1), i'' ( x), i  0,1 ,  3 ( x), 2 ( x), 3' ( x), 2' ( x), f ( x, y ) funksiyalar 0  x  1, 0  y  1 oraliqlarda uzluksiz boʻlib, c( x, y )  0 , ( x, y )  D a  x  0 shartlar bajarilsa, masala yechimi mavjud. b x Isbot. u yy   belgilash yordamida (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:   f ( x, y)  c( x, y)u( x, y) (10) (10) tenglama uchun masalaning (2), (3) va (4) chegaraviy shartlaridan foydalanib quyidagicha shartlarga ega boʻlamiz:   0, y   u yy  0, y   0''  y   3  x a x   x,0   u yy  x,0    u y  x,0    3  x  b x b x (11)  1, y   u yy 1, y   1''  y    x,1  u yy  x,1   1  x  Bu yerda u yy  x,1   1  x  va u y  x,0    3  x  - funksiyalar noma’lum.

(10) tenglamaning (11) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi quyidagicha boʻladi[1]: 1 1   x, y    G  x, y, ,0  3   d   G  x, y,  ,1 1   d  0 0 1 1   G x, y,1, 1''      d   G  x, y,0, 0''   d  0 0   G  x, y,  ,  c  ,  u ( , )d d  F  x, y  (12) D Bu yerda F  x, y    G  x, y,  ,  f  ,  d d , D

G  x, y,  ,    ln r  g ( x, y,  , ) , r  (x   )  ( y )  2 2

Laplas tenglamasi uchun toʻrtburchak sohada Dirixle masalasining Grin funksiyasi. Yuqoridagi belgilashga asosan quyidagi 2 ta masalaga ega boʻlamiz:

 w y    x, y    (13)  w  x,0    4  x   va

u y    x, y    (14) u  x,  x  1   2  x   Bu masalarda  4  x  - noma’lum funksiya. U holda (13) masalaning yechimi: y w     x, t dt   4  x  (15) koʻrinishida boʻladi. Bu ifodadan foydalanib, (14) ni yechimini quyidagicha yozamiz: y u   w  x, t dt   2  x  (16) 1 x Endi (15) ga (12) tenglikni qoʻysak: y 1 1 w     G  x, t ,  ,0  3   d   G  x, t ,  ,1 1   d  0 0 0 1 1    G  x, t ,1, 1   d   G  x, t ,0, 0''   d  dt  ''

0 0  y    G  x, t ,  ,  c  ,  u  ,  d d dt   4  x   0D

y       G  x, t ,  ,  f  ,  d d  dt (17) 0D  koʻrinishga keladi. (17) ifodani (16) formulaga qoʻyib, quyidagiga ega boʻlamiz: y  t 1 1 u       G  x, t1,  ,0  3   d   G  x, t1,  ,1 1   d  1 x  0 0 0 1 1     G x, t1,1, 1''      d   G  x, t1,0, 0''   d  dt1  dt  (18) 0 0   y t       G  x, t1,  ,  c  ,  u  ,  d d dt1  4  x  dt  1 x  0 D  y t        G  x, t1,  ,  f  ,  d d  dt1dt   2 ( x) 1 x 0  D  (18) tenglikdagi ba’zi integrallarni hisoblaymiz: y t  y t J 0     G  x, t1,  ,  dt1  dt      ln  x   2   t1   2  g  x, t1, ,   dt1dt  1 x  0  1 x 0  

      x   2   y   2 ln  x   2   y   2  g1( x, y, , ) y 1 t  y 1 t  J1      G  x, t1,  ,1 1   d dt1dt     1   d  G  x, t1, ,1dt1 dt  1 x 0  0  1 x  0 0 

1    x   2   y  12    x   2  x 2     1   ( y  1)ln    x ln    g ( x, y ,  ,1) d   x     1    x     1  0  2 2 

y 1 t  y 1 t  J 2      G  x, t1,  ,0  3   d dt1dt     3   d  G  x, t1, ,0 dt1 dt  1 x 0  0  1 x  0 0 

1    x   2  y 2    x   2  (1  x)2     3    y ln    (1  x)ln    g3 ( x, y,  ,0) d           2 2 0   x     x  

  t    y 1  g1     ln  x      2  2  t     2  2arctg  2arctg dt  2 1 x  x  x   

 y 1 x  y t g 2  2  y  x  1  2  x     arctg  arctg    g  x, t1,  ,1dt1dt  x  x    1 x 0

 y 1 x  y t g3  2  y  x  1  2  x     arctg  arctg    g  x, t1,  ,0 dt1dt  x  x    1 x 0

Topilganlardan foydalanib, u ( x, y) ni soddalashtiramiz: u  x, y    R  x, y, ,  u  ,  d d  F  x, y  (19) 4D Bu yerda F  x, y   F1 ( x, y )  F2  x, y  F1 ( x, y )  4D  R  x, y, ,  f  ,  d d 1 y t  '' 1 y t  F2  x, y       G  x, t1,0, dt1dt 0   d      G  x, t1,1, dt1dt 1''   d  01 x 0  01 x 0 

1    x   2   y  12    x   2  x 2     1   ( y  1)ln    x ln    g 2 ( x, y,  ,1) d     x     1    x     1   2 2 0 

1    x   2  y 2    x   2  (1  x)2     3    y ln    (1  x)ln    g3 ( x, y,  ,0) d            2 2 0   x     x  

  y  1  x  4  x    2  x  ; R  x, y,  ,   R  x, y,  ,  c  , 

 2 2   R  x, y,  ,    x      y    ln  x      y    2 2   g  x, y, , 

(19) – Fredgolmning 2-tur integral tenglamasi boʻlib, koʻrish mumkinki, uning yadrosi R  x, y,  ,  - uzluksiz funksiya, F  x, y  funksiya ham chegaraviy shartlardagi berilgan

funksiyalarga qoʻyilgan shartlarga asosan uzluksiz boʻladi. Shuning uchun, unga Fredgolm teoremalarini qoʻllash mumkin. Shunday qilib, uning yechimi[1]: u  x, y   F  x , y      x, y, ,  F  ,  d d (20) 4D koʻrinishida boʻladi. Bu yerda   x, y,  ,   R  x, y,  ,  yadroning rezolventasi.

F  x, y  ni ifodasidan foydalanib, (20) ni quyidagicha yozamiz: 1    x   2   y  12  u  x, y     1   ( y  1)ln      x     1  0    x   2  x 2    x ln    g 2 ( x, y,  ,1)  d    x     1  

1    x   2  y 2    x   2  (1  x)2     3   y ln     (1  x)ln    g3 ( x, y,  ,0) d     x    x    2 2 0   

1      2    12    ( x, y,  , )   1 1  (  1)ln  1  D  0      x  1  2  1 

    2   2    ln  1   g 2 ( , , 1,1)   d1d d     1   1     1      2   2    ( x, y,  , )   3 1   ln  1       1  D 0 

    2  (1   )2    (1   )ln  1   g3 ( , , 1,0)   d1d d     1  2       y  1  x  4  x   F3  x, y  (21) Bu yerda 1 y t  F3 ( x, y )   R( x, y,  , ) f ( , )d d      G  x, t1, 0, dt1dt 0''   d  4D 01 x 0 

1 y t       G  x, t1,1, dt1dt 1''   d   2  x      x, y, ,   1    4   d d 01 x 0  D

u yy  x,1   1  x  ekanligidan foydalanib, (21) da y boʻyicha ikki marta hosila olamiz va y  1 qoʻysak, 1 1  1  x    R1  x, 1  1 1  d1   k1  x, 1  3 1  d1  F3  x  (22) 0 0 koʻrinishidagi tenglamaga kelamiz. Bu yerda      2    12  R1 ( x,  )    yy ( x,1, 1,1) (1   )ln  1  D      x   1  2  1      2   2     ln      1  d d  g 2 yy  x,1,  ,1 g ( , , ,1)    1   1  

2 4  x  1  2      2   2  k1 ( x, 1 )      yy ( x,1,  , )  ln  1    x  1   1  x  1   1 D      1  2 2 2  

    2  (1   )2   (1   )ln  1   g3 ( , , 1, 0)  d d  g3 yy  x,1, , 0    1      F3 ( x)  F3 yy ( x,1) Endi u yy  x,0    3  x  ekanligidan (21) dan y boʻyicha ikki marta hosila olib, y  0 ni oʻrniga qoʻyib, 1 1  3  x    R2  x,1  3 1  d1   k2  x,1  1 1  d1  F3 ( x) (23) 0 0 tenglamaga kelamiz. Bu yerda      2   2  R2 ( x, 1 )    yy ( x,0,  , )  ln  1      1  D       2  (1   )2   (1   )ln  1   g3 ( , , 1,0)  d d  g3 yy  x,0,  ,0    1     

k ( x,  )    2  x  1   1  4  x  1  2 2      2    12    y ( x,1,  , ) (  1)ln  1

    x  1   1 2 1 2  2  x  1   1 2 D

    2   2    ln  1   g 2 ( , ,1,1)  d d  g 2 yy  x,0,  ,1    1   1  

F3 ( x)  F3 yy ( x,0) Shunday qilib, noma’lum funksiyalarga nisbatan Fredgolmning 2-tur integral tenglamalarini hosil qilamiz. Berilgan funksiyalarga qoʻyilgan shartlarga asosan (22) va (23) tenglamalarni oʻng tomoni uzluksiz funksiyalar boʻlib, x  0, x  1 nuqtalarda chegaralangan boʻladi:  1 1

 1  x    R1  x, 1  1 1  d1   k1  x,1  3 1  d1  F3  x   0 0  1 1  x  R x,    d  k x,   d  F ( x)  3    2  1 3  1 1  2  1 1 1 1 3  0 0

Bu sistemani yechib noma’lumlarni topamiz[5]: 1 1  1  x   F3  x    1  x, 1  F3 1  d1   1  x,1  F3 1  d1 , 0 0 1 1  3  x   F3 ( x)    2  x, 1  F3 1  d1    2  x, 1  F3 1  d1 . 0 0

Bu yerda 1  x, 1  va  2  x, 1  lar mos holda R1  x, 1  va R2  x, 1  yadrolar rezolventasi.  4  x  ni topish uchun (11) dagi  3  x a x  u y  x,0    3  x  b x b x belgilashdan foydalanamiz:  3  x b x b x 1 b x 1  4  x   F3 ( x)   2  x,1  F3 1  d1  a  x   2  x,1  F3 1  d1 a  x a  x a x 0 0

Bu tenglikda ba’zi almashtirishlarni bajarsak, quyidagi b x 1  4  x   R3  x,  4   d  F5  x  (24) a  x 0 integral tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda R3  x,       x,1,  , 1     d  3  x b x b x 1 b x 1 F5  x,     F3 ( x)    x ,   F   2 1 3 1 1 a  x   2  x,1  F3 1  d1    d   a  x a  x a  x 0 0

    x, y,  ,   1    4   d d D

(24) tenglikda ham teorema shartlariga asosan oʻng tomoni uzluksiz funksiyalar. Tenglamaning yechimi mavjud. Bundan (24) yordamida  4  x  ni aniqlab,  1  x  ,  3  x  va  4  x  larni (21) ifodaga olib borib, berilgan masala yechimini topamiz. MUHOKAMA Olingan natijalar (1) tenglama uchun qoʻyilgan chegaraviy masalaning toʻgʻri qoʻyilganligini koʻrsatadi. Yechimning yagonaligini isbotlashda qoʻllanilgan integral energiya usuli tenglamani mos koʻpaytuvchiga koʻpaytirish va Grin formulasini qoʻllash orqali (8) koʻrinishdagi energetik tenglikni hosil qilish imkonini berdi. Teorema shartlarida koeffitsiyentlarga qoʻyilgan cheklovlar aynan shu tenglikdagi hadlarning ishorasini aniqlaydi va yagonalikni ta’minlovchi hal qiluvchi omil boʻlib xizmat qiladi. Yechimning mavjudligini isbotlashda esa masala Laplas tenglamasi uchun toʻgʻri toʻrtburchak sohada Dirixle masalasining Grin funksiyasi yordamida integral koʻrinishga keltirildi. Natijada noma’lum funksiyalarga nisbatan Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamalari — (19), (22), (23) va (24) — hosil qilindi. Ushbu tenglamalar yadrolarining uzluksizligi hamda oʻng tomonlarining chegaralanganligi Fredgolm teoremalarini qoʻllash imkonini beradi, bu esa yechimning mavjudligini kafolatlaydi. Mazkur ish M.S.Salohiddinov [1,2] va T.D.Djoʻrayev [3] tomonidan kompozit va murakkab turdagi tenglamalar uchun ishlab chiqilgan yondashuvlarni toʻrtinchi tartibli tenglamalar sinfiga kengaytiradi. O.S.Zikirov va K.S.Gaziyev [4] tomonidan uchinchi tartibli murakkab turdagi tenglama uchun olingan natijalardan farqli oʻlaroq, bu yerda tenglama tarkibida Laplas operatorining qatnashishi Dirixle masalasining Grin funksiyasidan bevosita foydalanish imkonini beradi va integral tenglamalar nazariyasini qoʻllash yoʻlini soddalashtiradi. XULOSA Xulosa qilib aytsak, qoʻyilgan masala yechimi yagonaligi integral energiya usuli yordamida, masala yechimi mavjudligini ifodalovchi teorema integral tenglamalar nazariyasi yordamida tavsiflandi. Olingan natijalar yuqori tartibli elliptik operator qatnashgan tenglamalar nazariyasini rivojlantirishda katta yordam beradi.